не набирается скорость и не переключается скорость
 

На холодную машина едет нормально, но как прогреется (примерно через час), то после 3000 оборотов тяга пропадает, а обороты продолжают расти. Иногда появляется вибрация. И пока педаль газа не отпущу не переключает передачу вверх. Ошибок никаких не появилось. Пробег 140 тысяч, двигатель 4.4. В чём может быть проблема?

Диагностику проходили? Масло в коробке когда меняли? Без диагностики тут сложно что-то сказать. Если ошибок на дисплее никаких не высвечивается, то диагностика обязательно должна что-то показать. Так что делайте диагностику и пишите результаты.

Масло ещё не менял. На следующей неделе планирую ехать. Диагностику тоже пока не делал, но раз без неё никак, то постараюсь до конца недели пройти. Если что, отпишусь о результатах.

Вот с этого и надо было начинать. А то по такому описанию проблемы можно что угодно предположить. Меняйте масло и делайте диагностику. По результатам видно будет что делать дальше.

На 140-ка тысячах пробега, при условии, что ни разу до этого не меняли масло в коробке, лучше этого и не делать, потому как вероятность возникновения проблем в этом случае, увеличивается в разы. Раньше менять надо было. На 60-ти и на 120-ти.

Судя по описанной вами симптоматике, коробка автомат у вас просто перегревается. Так что скорее всего придется либо менять, либо чинить ее гидроблок, а так же промывать или менять радиатор коробки.