Я бы на вашем месте заправку поменял бы. Так как бывает решение проблем в простом только в смене заправки. А потом уже можно дальше копать если не поможет вам это.

Если на холодной проблемы то практически наверняка это проблема со свечами и их в первую очередь стоит поменять и посмотреть на состояние машины после такой замены. Может быть будет лучше.

Вибрация может быть просто от некачественного бензина. Погозуйте минут 15 по району. Покрутите обороты до красной зоны. Возможно топливная система подзабилась и такое действие поможет ее прочистить.

Да мне кажется сейчас не должно быть таких проблем на заправках. Так как их постоянно проверяют и продавать не очень качественное топливо никто не будет в наше время.

Вибрировать может по разным ситуациям. Но я бы начал с замены свеч так как именно такая процедура помогает в 90 процентов случаев. Думаю стоит попробовать, может и вам повезет и проблема именно в этом.

То есть вы хотите сказать, что если дать машине, простите, но "просраться", то свечи очистятся, котлы станут светлыми как ангелы и машина заработает? На диагностику и смотреть причину проблемы, вот верный вариант.